公務員考試行測數量關系——牛吃草問題
發(fā)布時間：2015-10-20 11:09:23 來源：一佳公務員考試網 點擊量：
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牛吃草問題是一個古老的數學問題，也是相對來說比較難的一類應用方程問題，它的原題是：“牧場上有一片青草，每天都生長得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃幾天？”
牛吃草問題的背后有一個基本的等式，即“消耗量＝新增量＋存量”，于是得到牛吃草問題的一個核心公式：M＝(c－a)×t，即存量＝（單位消耗量－單位新增量）×時間。為方便起見，一般假設每頭牛（可以是其他動物或物體）在單位時間里（如每天、每周、每月、每年等，視具體情況而定）的消耗量為1，則草場上有多少頭牛，其單位消耗量就是多少。
【例1】（2007年浙江）
林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可以在9周內吃光，21只猴子可以在12周內吃光，問如果有33只猴子一起吃，則需要幾周吃光（假定野果生長的速度不變）？
A．2周 B．3周
C．4周 D．5周
【一佳名師解析】此題答案為C。設原來林子里的野果存量為M，野果的單位（周）新增量為a，則根據牛吃草公式，由前兩個條件，有：M＝(23－a)×9，M＝(21－a)×12。
解得，a＝15，M＝72，再一次利用公式，有：72＝(33－15)×t，解得t＝4，因此答案為C。
【變1】（2009年廣東）
某礦井發(fā)生透水事故，且礦井內每分鐘涌出的水量相等。救援人員調來抽水機抽水，如果用2臺抽水機抽水，預計40分鐘可抽完；如果用4臺同樣的抽水機，16分鐘可抽完。為贏得救援時間，要求在10分鐘內抽完礦井內的水。那么至少需要抽水機（ ）。
A．5臺 B．6臺
C．8臺 D．10臺
【一佳名師解析】此題答案為B。設原來礦井里的水量為M，礦井內每分鐘涌出的水量為a，則根據牛吃草公式，由前兩個條件，有：
M＝(2－a)×40，M＝(4－a)×16。
解得，a＝
，M＝
，再一次利用公式，有：
，解得c＝6，因此答案為B。
核心提示：三次利用牛吃草公式，一般都可以把這一類問題解決，其中前兩個條件可以得出關鍵的兩個量，第三個條件求要求的量。
【例2】（2009年國考）
一個水庫在年降水量不變的情況下，能夠維持全市12萬人20年的用水量。在該市新遷入3萬人之后，該水庫只夠維持15年的用水量。市政府號召節(jié)約用水，希望能將水庫的使用壽命提高到30年。那么，該市市民平均需要節(jié)約多少比例的水才能實現政府制定的目標？
【一佳名師解析】此題答案為A。設水庫的原有存量為M，年降水量為a，根據牛吃草公式，由前兩個條件，有：
M＝(12－a)×20，M＝(15－a)×15。
解得，a＝3，M＝180，再次利用公式，并設節(jié)水比例為X，則有180＝[15(1－X)－3]×30，解得X＝
，因此答案為A。
【變2】（2008年江蘇）
在春運高峰時，某客運中心售票大廳站滿等待買票的旅客，為保證售票大廳的旅客安全，大廳入口處旅客排隊以等速度進入大廳，按次序等待買票，買好票的旅客及時離開大廳。按照這種安排，如果開出10個售票窗口，5小時可使大廳內所有旅客買到票；如果開出12個售票窗口，3小時可使大廳內所有旅客買到票，假設每個窗口售票速度相同。如果大廳入口處旅客速度增加到原速度的1.5倍，在2小時內使大廳中所有旅客買到票，按這樣的安排至少應開售票窗口數為（ ）。
A．15 B．16
C．18 D．19
【一佳名師解析】此題答案為C。設大廳里原有旅客存量為M，單位時間內旅客進入量為a，根據牛吃草公式，由前兩個條件，有：
M＝(10－a)×5，M＝(12－a)×3。
解得，a＝7，M＝15，再次利用公式，此時a＝1.5×7＝10.5，設窗口數為c，則有15＝[c－10.5]×2，解得c＝18，因此答案為C。
核心提示：牛吃草問題在出題形式上有一個共同的特點，就是有兩個已知條件，且已知條件一般是關于數量和時間的關系，問題會有不同的變化，考生要認清這種形式。
【例3】（2011年北京）
假設某地森林資源的增長速度是一定的，且不受到自然災害等原因影響。那么若每年開采110萬立方米，則可開采90年，若每年開采90萬立方米則可開采210年。為了使這片森林可持續(xù)開發(fā)，則每年最多開采多少萬立方米林木？
A．30 B．50
C．60 D．75
【一佳名師解析】此題答案為D。設這片森林原有存量為M，森林的年增長量為a，根據牛吃草公式，由前兩個條件，有：
M＝(110－a)×90，M＝(90－a)×210。
解得，a＝75，M＝3150，由于問題是要求這片森林可持續(xù)開發(fā)，那么必須使每年的開采量不超過a，因此答案為D。
【變3】有一塊草地，每天草生長的速度相同�，F在這片牧草可供4頭牛和8只羊吃8天，或者供7只牛和6只羊吃6天，或者12頭牛和4只羊吃4天，那么這片草地可供10頭牛和16只羊一起吃多少天？
A．4 B．3
C．2 D．1
【一佳名師解析】此題答案為B。設這塊草地的原有存量為M，草的日生長量為a，牛、羊的日吃草量分別為1、c，根據牛吃草公式，由前三個條件，有：
M＝(4＋8c－a)×8，M＝(7＋6c－a)×6，M＝(12＋4c－a)×4。
解得，a＝2，c＝
，M＝48，再一次利用公式，有：48＝(10＋
－2)×t，解得t＝3，因此答案為B。
核心提示：牛吃草問題會有很多創(chuàng)新之處，比如【例3】中的“可持續(xù)問題”和【變3】中的“多主體問題”。當“新增量＝消耗量”時，可以實現可持續(xù)發(fā)展；當設其中的一個主體單位時間消耗量為1時，可以轉化為普通的牛吃草問題。
牛吃草問題的背后有一個基本的等式，即“消耗量＝新增量＋存量”，于是得到牛吃草問題的一個核心公式：M＝(c－a)×t，即存量＝（單位消耗量－單位新增量）×時間。為方便起見，一般假設每頭牛（可以是其他動物或物體）在單位時間里（如每天、每周、每月、每年等，視具體情況而定）的消耗量為1，則草場上有多少頭牛，其單位消耗量就是多少。
【例1】（2007年浙江）
林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可以在9周內吃光，21只猴子可以在12周內吃光，問如果有33只猴子一起吃，則需要幾周吃光（假定野果生長的速度不變）？
A．2周 B．3周
C．4周 D．5周
【一佳名師解析】此題答案為C。設原來林子里的野果存量為M，野果的單位（周）新增量為a，則根據牛吃草公式，由前兩個條件，有：M＝(23－a)×9，M＝(21－a)×12。
解得，a＝15，M＝72，再一次利用公式，有：72＝(33－15)×t，解得t＝4，因此答案為C。
【變1】（2009年廣東）
某礦井發(fā)生透水事故，且礦井內每分鐘涌出的水量相等。救援人員調來抽水機抽水，如果用2臺抽水機抽水，預計40分鐘可抽完；如果用4臺同樣的抽水機，16分鐘可抽完。為贏得救援時間，要求在10分鐘內抽完礦井內的水。那么至少需要抽水機（ ）。
A．5臺 B．6臺
C．8臺 D．10臺
【一佳名師解析】此題答案為B。設原來礦井里的水量為M，礦井內每分鐘涌出的水量為a，則根據牛吃草公式，由前兩個條件，有：
M＝(2－a)×40，M＝(4－a)×16。
解得，a＝
，M＝，再一次利用公式，有：，解得c＝6，因此答案為B。核心提示：三次利用牛吃草公式，一般都可以把這一類問題解決，其中前兩個條件可以得出關鍵的兩個量，第三個條件求要求的量。
【例2】（2009年國考）
一個水庫在年降水量不變的情況下，能夠維持全市12萬人20年的用水量。在該市新遷入3萬人之后，該水庫只夠維持15年的用水量。市政府號召節(jié)約用水，希望能將水庫的使用壽命提高到30年。那么，該市市民平均需要節(jié)約多少比例的水才能實現政府制定的目標？
【一佳名師解析】此題答案為A。設水庫的原有存量為M，年降水量為a，根據牛吃草公式，由前兩個條件，有：
M＝(12－a)×20，M＝(15－a)×15。
解得，a＝3，M＝180，再次利用公式，并設節(jié)水比例為X，則有180＝[15(1－X)－3]×30，解得X＝
，因此答案為A。【變2】（2008年江蘇）
在春運高峰時，某客運中心售票大廳站滿等待買票的旅客，為保證售票大廳的旅客安全，大廳入口處旅客排隊以等速度進入大廳，按次序等待買票，買好票的旅客及時離開大廳。按照這種安排，如果開出10個售票窗口，5小時可使大廳內所有旅客買到票；如果開出12個售票窗口，3小時可使大廳內所有旅客買到票，假設每個窗口售票速度相同。如果大廳入口處旅客速度增加到原速度的1.5倍，在2小時內使大廳中所有旅客買到票，按這樣的安排至少應開售票窗口數為（ ）。
A．15 B．16
C．18 D．19
【一佳名師解析】此題答案為C。設大廳里原有旅客存量為M，單位時間內旅客進入量為a，根據牛吃草公式，由前兩個條件，有：
M＝(10－a)×5，M＝(12－a)×3。
解得，a＝7，M＝15，再次利用公式，此時a＝1.5×7＝10.5，設窗口數為c，則有15＝[c－10.5]×2，解得c＝18，因此答案為C。
核心提示：牛吃草問題在出題形式上有一個共同的特點，就是有兩個已知條件，且已知條件一般是關于數量和時間的關系，問題會有不同的變化，考生要認清這種形式。
【例3】（2011年北京）
假設某地森林資源的增長速度是一定的，且不受到自然災害等原因影響。那么若每年開采110萬立方米，則可開采90年，若每年開采90萬立方米則可開采210年。為了使這片森林可持續(xù)開發(fā)，則每年最多開采多少萬立方米林木？
A．30 B．50
C．60 D．75
【一佳名師解析】此題答案為D。設這片森林原有存量為M，森林的年增長量為a，根據牛吃草公式，由前兩個條件，有：
M＝(110－a)×90，M＝(90－a)×210。
解得，a＝75，M＝3150，由于問題是要求這片森林可持續(xù)開發(fā)，那么必須使每年的開采量不超過a，因此答案為D。
【變3】有一塊草地，每天草生長的速度相同�，F在這片牧草可供4頭牛和8只羊吃8天，或者供7只牛和6只羊吃6天，或者12頭牛和4只羊吃4天，那么這片草地可供10頭牛和16只羊一起吃多少天？
A．4 B．3
C．2 D．1
【一佳名師解析】此題答案為B。設這塊草地的原有存量為M，草的日生長量為a，牛、羊的日吃草量分別為1、c，根據牛吃草公式，由前三個條件，有：
M＝(4＋8c－a)×8，M＝(7＋6c－a)×6，M＝(12＋4c－a)×4。
解得，a＝2，c＝
，M＝48，再一次利用公式，有：48＝(10＋－2)×t，解得t＝3，因此答案為B。核心提示：牛吃草問題會有很多創(chuàng)新之處，比如【例3】中的“可持續(xù)問題”和【變3】中的“多主體問題”。當“新增量＝消耗量”時，可以實現可持續(xù)發(fā)展；當設其中的一個主體單位時間消耗量為1時，可以轉化為普通的牛吃草問題。
責編:一佳教育
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